Махало
Трептения
Дейности
Дължина на елипса.
В главата „Твърдо твърдо вещество“ изучавахме малките трептения на сложно махало. На тази страница ще проучим общото поведение на махало за малки и големи амплитуди и дори когато махалото се завърти.
Диференциалното уравнение, което описва поведението на съставното махало е
(1)
Когато ъгълът q е малък, тогава sin q »q . Махалото описва M.A.S. чийто период P0 е
Периодът на махалото
Да предположим, че махалото е в стабилно равновесно положение и ние го снабдяваме с енергия И.
Махалото придобива начална скорост w 0. С изместването на ъгъл q кинетичната енергия на въртене се превръща в потенциална енергия, докато достигне максимално отклонение q 0, когато w = 0. След това се извършва обратният процес, потенциалната енергия се преобразува в ротационна кинетична енергия, докато при повторно преминаване през равновесното положение q =0, цялата потенциална енергия е превърната в кинетична, ъгловата скорост на махалото ще бъде - w 0. След това махалото отново достига максималното си отклонение - Какво 0 и накрая се връща в стабилно равновесно положение, завършвайки трептенето.
Когато махалото достигне максималното отклонение w = 0, и Е = mgb(1-cos q 0)
Изчистване на времето dt в диференциалното уравнение
Когато махалото достигне максималното отклонение q = q 0 Или, когато j = p/2, сте използвали една четвърт от периода размах.
Срокът на трептене можем да го напишем
където P0 е периодът на малки амплитудни трептения.
Интегралът се нарича пълна елипса от първия вид. Следващата интерактивна програма изчислява коефициента P/P0 когато въведем амплитудата θ0 трептене. Изчислението се основава на процедурата на Карлсън за намиране на елипсовидния интеграл от първия вид RF (x, y, z). Махай се Числени рецепти в C, Специални функции. Глава 6є
Програма за изчисляване на периода на махало за всяка амплитуда
Серийно развитие
Разработваме последователно знаменателя на елиптичния интеграл
Интегралът става
За решаване на интегралите се използват следните тригонометрични връзки:
Серийното развитие на периода е
(две)
Ако амплитудата е малка, можем да пишем
и периодът е приблизително
Това е първото сближаване с формулата за периода на махало
Крайният извод е, че периодът нараства с амплитудата q 0. Докато периодът 0 е независимо от амплитудата, стига амплитудата да не е много голяма и може да се приложи приближението sin q »q .
Приблизителни формули за периода на махало
Няколко приблизителни формули за периода на махалото са известни за всяка амплитуда, която може да бъде сравнена с точния израз
Графичното представяне съответства на розовата крива, която най-добре се доближава до червената крива.
Графичното представяне съответства на черната крива, която е малко по-добра от предишната на червената крива.
Графичното представяне съответства на кривата на зеления цвят, която е най-подходящата за кривата на червения цвят.
Крива на потенциалната енергия
Както вече видяхме в тази глава, кривите на потенциалната енергия ни предоставят качествена информация за поведението на физическата система.
Потенциалната енергия на махалото е Иp =mgb(1-cos q). Максималната потенциална енергия на махалото е 2mgb, когато е в обърнато положение. Представяме в горната дясна част на аплета коефициента на потенциалната енергия Иp между енергията на максималната мощност, като функция от ъгъла q, т.е.функцията
В тези единици максималната потенциална енергия е единица за q = p, когато махалото е обърнато (нестабилно равновесно положение) и минимумът (нула) за q =0, стабилно равновесно положение.
В тази диаграма ние представяме с черна линия общата енергия И, сума на потенциалната енергия и кинетичната енергия. Вертикален сегмент с червен цвят показва потенциалната енергия на махалото за позицията q , и сегмент от син цвят - кинетичната енергия на махалото в това положение. Стойностите на общата, кинетичната и потенциалната енергия са разделени на максималната потенциална енергия 2mgb.
Принципът на запазване на енергията гласи, че сумата на кинетичната енергия и потенциалната енергия е постоянна. И така, кинетичната енергия е максимална, когато потенциалната енергия е минимална (когато махалото преминава през стабилното равновесно положение), а кинетичната енергия е минимална (нула), когато махалото достигне максималното отклонение.
Във фазовата диаграма представяме ъгловата скорост w (или ъгловия момент I0W ) като функция от ъгловото изместване q .
Ако движението на физическа система е периодично, системата се връща в същото състояние след пълен цикъл. Представянето на неговата траектория във фазовото пространство е затворена крива.