Класически проблем с теглото - Бележник за научна култура
Matemotion
Проблемите с тежестите и везните са много често срещани в развлекателната математика. Проверка на книгата 100 големи задачи на елементарната математика - 100 големи задачи на елементарната математика Припомних си един класически проблем с теглото от 17-ти век и ми се стори интересно, поради своята привлекателност, интерес и простота, да го припомня в този раздел на тетрадката за научна култура.
Проблемът е предложен от френския математик, лингвист, философ и поет Клод Гаспар Баше дьо Мезириак (1581-1638), който прави латинския превод и издание през 1621 г. на произведението Аритметика на гръцкия математик Диофан (3 век), в неговата книга Problèmes Plaisants et Délectables, Qui se font para les names - Приятни и възхитителни проблеми с числата (1612).
Задачата, предложена от френския математик, върви по следния начин:
Проблем с теглото на Bachet de Méziriac: Определете най-малкия брой тегла и тяхното тегло в килограми *, необходими за претегляне на произволен брой килограми между 1 и 40, включени и двете (без да се допускат фракции).
[* В оригиналния текст те са лири]
Въпреки че не е изрично посочено в текста на задачата, той се позовава на факта, че претеглянето се извършва с везна с две рамена или съответно с две плочи, така че тежестите да могат да се поставят върху някоя от двете плочи, за да се получи желаното тегло (подобно на това, което можем да видим на следващото изображение, макар и с лиценза, че този на изображението няма да държи тежестите, за които говорим). По този начин, ако имате тегло 9 килограма и още 5 килограма, можете да претеглите 4 килограма портокали, като поставите теглото от 9 килограма в едната чиния, а в другата теглото от 5 килограма с портокалите. Математически правим операцията по изваждане, 9 килограма - 5 килограма = 4 килограма.
Тоест, като се имат предвид някои тегла с определени тегла, е възможно да се претегли всяко количество, получено като добавяне или изваждане на стойностите на теглата.
Балансирайте с две рамена или две плочи
В книгата 100 големи проблеми на елементарната математика по същество възниква същият проблем, въпреки че изявлението вече включва информацията, че има 4 тегла, с малко по-привлекателна литература за читател.
Проблем: Търговец имал тегло 40 килограма *, но паднал и се счупил на 4 различни парчета. Когато се претеглят парчетата, се установява, че всеки от тях тежи точен брой килограми и че между четирите може да се претегли произволен брой килограми * между 1 и 40. Колко килограма * тежи всяко от парчетата?
Нека разсъждаваме по подобен начин, както Баше преди 400 години. Идеята на Bachet е да започне с две тежести, за да можем да претеглим нещо между 1 и н, за н колкото е възможно по-голям. Очевидно е, че решението е две тежести от 1 и 3 килограма, с които могат да се постигнат тегла между 1 и 4 килограма:
1 = 1, 2 = 3 - 1, 3 = 3 и 4 = 1 + 3.
Не забравяйте, че добавянето означава поставяне на тежестите върху една и съща плоча, докато изваждането означава поставянето им на различни плочи.
За други суми обаче бихме имали същото количество песо, но не между 1 и н. Например, с тежести от 2 и 3 килограма получавате 1, 2, 3 и 5 килограма, но не и 4 килограма.
Сега ще трябва да видим какво тегло да добавим, за да получим всички тегла между 1 и н, за н по-голямо от 4. Тъй като вече имаме двете тежести от 1 и 3 килограма и успяхме да претеглим всички тегла между 1 и 4 килограма, трябва да вземем тегло, чиято разлика с максимално постигнатия досега 4 килограма, е следващото тегло, 5 килограма (следователно 9 килограма, тъй като 9 - 5 = 4, или това, което е същото, 9 = 2 x 4 + 1), тъй като по този начин се получават всички количества от 5 килограма до това количество, 9 килограма, като се извадят от 9 килограма (т.е. поставяне на другата чиния) всички суми от 1 до 4:
5 = 9 - 4 = 9 - (1 + 3), 6 = 9 - 3,
7 = 9 - 2 = 9 + 1 - 3, 8 = 9 - 1, 9 = 9.
Но освен това можем да получим и всички тегла между 9 и 9 + 4 = 13 килограма:
10 = 9 + 1, 11 = 9 + 2 = 9 + 3 - 1,
12 = 9 + 3, 13 = 9 + 4 = 9 + 3 + 1.