Анализ на възстановяването на скоростта на гниене при Т2-претеглени изображения на мозъка на
1 Анализ на възстановяването на скоростта на разпадане в Т-претеглени изображения на мозъка 2 на магнитния резонанс Родни Харамильо Юстинико Университет Национал де Колумбия Меделин Кампус Факултет на науките Аспирант по математика юни 2014 г.
3 Анализ на възстановяването на скоростта на разпадане в T2-претеглени мозъчни изображения на магнитния резонанс От: Родни Джарамило Юстинико Работата е представена като частично изискване за кандидатстване за званието доктор на математическите науки Директор: Марианела Лентини Гил Национален университет в Колумбия Меделин Кампус Факултет на Науки Аспирант по математика юни 2014 г.
4 Тази работа е частично подкрепена от заместник-ректората за научни изследвания чрез проекта Укрепване на групата за научни изчисления, код на Хермес 16084
5 Благодарности Благодарен съм на моите колеги и приятели, учители по математически и статистически училища, които предложиха насърчителни думи за реализирането на този проект, особено Карлос Мехия, Марко Палушни, Хуго Арбелаес и Хуан Карлос Салазар. благодарение на Беатрис Корея, без чието настояване не бих възобновил докторантурата си, имам много специално чувство на благодарност към моя съветник, професор Марианела Лентини, за нейната отдаденост и особено за нейните учения, например доверие и приятелство. И накрая, аз благодаря на безусловната привързаност на хората, които с нетърпение очакваха, а понякога и с нетърпението на любимия, завършването на тази теза: майка ми Гладис, баща ми Лудоберто, съпругата ми Олга Росио и децата ни Самуел и Хуана
9 Съдържание Резюме Резюме Съдържание i ii iii Въведение 1 1 Вариант на метода Прони 3 11 Методи тип Прони 3 12 Вариант на метода Прони 5 2 Анализ на стабилността Числени симулации 17 3 Филтри в областта на вейвлетите за намаляване на шума в ядрено-магнитен резонанс Внедряване на филтри в областта на вейвлет за ядрено-магнитен резонанс Премахване на пристрастия за данни след разпределение на ориз Внедряване на нов филтър в областта на вейвлет за ядрено-магнитен резонанс Формула за коефициенти на мащаб Филтър тип Wiener за вълнови коефициенти Двустранен филтър Алгоритъм за намаляване на шума при изображения с магнитен резонанс Валидиране на филтъра с помощта на синтетични изображения Изпълнение на филтъра върху реално изображение с магнитен резонанс 37 4 Числени резултати Приложение на метода върху претеглени изображения в Real T 2 MRI Re Числени резултати върху синтетични изображения Заключения и обсъждане на резултатите 53 iii
10 Библиография 54 iv
13 Глава 1 Вариант на метода на Прони 11 Методи от типа Прони Методите от тип Прони представляват семейство от методи, които позволяват, наред с други проблеми, експоненциалната корекция, дадена от системата от уравнения kyi = b + C je iλ jtj = 1 i = 1, n, Ако в формулировката, дадена от (1), са дефинирани b = C 0 и λ 0 = 0, тогава данните yi трябва да отговарят на модела µ (ti) = µ (it) yi, където µ е даденото функция чрез µ (t) = k C je λjt j = 0 Тези методи, известни също като полиномиални методи, се характеризират, тъй като µ (t) удовлетворява различното уравнение на формата (δk + 2 E k δ 2 E + δ 1) µ (t) = 0, (2) където операторът E е даден с (Eµ) (t) = µ (t + t) и стойностите β j = e λ jt са корените на полинома P (z ) = δ k + 2 zk δ 2 z + δ 1 = 0, (3) което е характеристичният полином, свързан с уравнението на разликата (2) Когато се изчислява (2) за ti = it, i = 1, nk 1, получаваме набора от уравнения δ k + 2 µ (t k + 2) + + δ 1 µ (t 1) = 0 δ k + 2 µ (tn) + + δ 1 µ (t n k 1) = 0 3
17 В този случай коефициентите на полинома α (z) са симетричните функции в β 1, β k, определени от w (k) 1 = β β kw (k) 2 = β l β rlrw (k) 3 = lr, ls, srw (k) k 1 = (1) k β l β r β sk (k) β lj = 1 w (k) k = (1) k + 1 ljk β j, тези коефициенти се изчисляват като решение на системата от уравнения Накрая, β j са корените на полинома j = 1 M (k) w (k) = Q (k) (12) α (k) (z) = zkkj = 1 w (k) jzkj (13) Двете теореми, които ще посочим по-долу, установяват връзката, която съществува между решението, получено по процедурата, която току-що описахме, и модифицирания метод на Прони, описан в раздел 11 Теорема 1 Нека R е матрицата от порядъка kk, определена както следва: R = 1, ако k = 1, а за k> 1 1, ако i = j, R (i, j) = 1, ако j = i + 1, 0, в противен случай нека P (z) и α (k) (z) полиномите, дефинирани съответно в (3) и (13), ако δ = [δ 1, δ k + 1, 1] е решението на задачата за оптимизация (9), тогава векторът w (k ) = R 1 [δ k, δ 1] T удовлетворява Освен това, M (k) w (k) Q (k) = XT δ и P (z) = (z 1) α (k) (z) Тест Разтворът δ = [δ 1, δ k + 1, δ k + 2] от (9) удовлетворява δ k + 2 = 1 В случая, който разглеждаме β 0 = 1 е корен от P (z), от който следва, че δ j = 1 k + 1 j = 1 7
18 Тогава M (k) w (k) Q (k) = M (k) R 1 Rw (k) Q (k) = M (k) R 1 δ ḳ y k + 1 и k + 2 δ 1 yn 1 yn = M (k) R 1 δ ḳ δ 1 [k + 1 j = 1 δ j] и k + 1 yk + 2 [k + 1 j = 1 δ j] yn 1 yn = M (k) R 1 δ ḳ + yk + 1 и k + 1 δ ḳ + δ 1 yn 1 yn 1 δ 1 δ k + 2 и k + 2 yn + δ k + 1 и k + 1 yn 1 = δ k + 2 и k + 2 yn + δ k + 1 и k + 1 yn 1 + M (k) R 1 δ ḳ + yk + 1 и k + 1 δ ḳ δ 1 yn 1 yn 1 δ 1 = δ k + 2 и k + 2 yn + δ k + 1 yk + 1 yn 1 + ykyk 1 y 1 yn 2 yn 1 ynk 1 δ ḳ δ 1 8
19 = y 1 и 2 и k + 2 и 2 и 3 и k + 3 и 3 и 4 и k + 4 ynk 1 ynkyn δ 1 δ 2 δ k + 1 δ k + 2 = W и δ От уравнение (6) следва, че сега за полинома P (z) имаме P (z) = δ k + 2 zk δ 2 z + δ 1 ((k = (z 1) zk = (z 1) = (z 1) (( j = 1 M (k) w (k) Q (k) = XT δ y (k 1 δ j) zk 1 j = 1 δ j) zk 2 (δ 1 + δ 2) z δ 1) zkw (k) 1 zk 1 w (k) 2 zk 2 w (k) k 1 zw (k) kzk = (z 1) α (k) (z) kj = 1 w (k) jzkj)) Теорема 2 Да предположим, че има само решение на задачата за оптимизация (9) Векторът δ R k + 2 е решението на задача (9) тогава и само ако R 1 [δ k, δ 1] T е решението с най-малките квадрати на линейното уравнение (12) Доказателство Нека δ R k + 2 е решението на задача (9), ζ = R 1 [δ k, δ 1] T и нека ψ е най-малкото квадратно решение на линейната система (12) От теорема 1 следва, че XT δ y = M (k) ζ Q (k) min M (k) z Q (k) z = M (k) ψ Q (k) (14) Нека разгледаме ξ R k, дадено от [ξ k, ξ 1] T = Rψ (15) и γ R k + 2, дефинирани като k γ = [ξ 1, ξ k, 1 ξ j, 1] T (16) j = 1 По теорема ( 1) имаме M (k) ψ Q (k) = Xγ T и 9