Път на снаряд, изстрелян от височина h над земната повърхност
Небесна динамика
В главата за кинематиката изучавахме движението на снаряди, които описват параболични траектории в локалната хоризонтална равнина, приемайки, че ускорението на гравитацията е постоянно.
На страницата, озаглавена „Откриването на закона за всеобщата гравитация“, забелязахме, че снаряд, изстрелян от определена височина, описва елипсовиден път, в един от фокусите на който е центърът на Земята. Параболичните траектории са приближения на елиптичните траектории, когато обхватът и максималната височина на снаряда са много малки в сравнение с радиуса на Земята.
Също така ще приемем, че Земята не се върти по оста си. Ефектът от въртенето на Земята ще бъде описан на страницата, озаглавена "Отклонение на падащо тяло на изток".
На тази страница ще определим траекторията на изстрела, който е изстрелян от височина з, с начална скорост v0 правене на ъгъл φ с радиална посока.
На цялата тази страница ще ни е необходима следната информация:
Радиусът на Земята R= 6,37 · 10 6 m
Масата на Земята М= 5,98 · 10 24 кг
Константата G= 6,67 10 -11 Nm 2/kg 2
Уравнение на траекторията
| Изстрелва се масов снаряд м от разстояние r0=R + h от центъра на Земята, със скорост v0 правене на ъгъл φ с радиус вектор. Ъгловият момент и енергията на снаряда са съответно |
Уравнението на пътя в полярни координати е
Ако енергията на снаряда е отрицателна И 6 + 6,37 10 6 m
Максималната височина, която достига снарядът, е з= 18.03 · 10 6 -6.37 · 10 6 = 11.66 · 10 6 m
Скоростта, с която достига повърхността на Земята, е v= 8999,6 m/s
Ъгълът на стрелба е φ= 180є.
| Ъглов импулс L= 0, така че пътят е права линия, която минава през центъра на силите. Снарядът се спуска по радиалната посока, докато достигне повърхността на Земята със същата скорост, която сме изчислили в предишния раздел. |
Изстрелваме снаряд от позицията r0= 6,0 · 10 6 + 6,37 · 10 6 m с начална скорост v0= 4500 m/s в радиалната посока и към центъра на Земята
Скоростта, с която удря земната повърхност, е v= 8999,6 m/s
Ъгълът на стрелба е φ= 90є.
Максимален обхват
Максималният обхват настъпва, когато е перигеят R, и апогейът е r0 = h + R.
Тъй като ъгловият момент и енергията са постоянни във всички точки на траекторията и по-специално, в перигея и в апогея, трябва да
Данните са r0 Y. R и неизвестните v Y. v0. Скорострелността е
Пример: Нека з= 6000 км или разстоянието по радиалната посока е r0= 12,37 · 10 6 m
Изчисляваме скорострелността, v0= 4681,969 m/s
Полу-голямата ос на елипсата е да се= (R + r0) /2=14.37·10 6 m
Времето за полет е половината от периода
Позиция на точката на удар
Както виждаме на фигурата, снарядът напуска позицията θ= π и влияе върху позицията θ= π-α кога r = R.
поставяне r = R В уравнението на траекторията решаваме за ъгъла θ.
Продължавайки със същите данни от предишните случаи:
Радиално разстояние на изстрела r0= 12,37 · 10 6 m
Начална скорост v0= 4500 m/s
Ъгъл на стрелба φ= 90є.
Получаваме стойностите на ъгловия момент и енергията на снаряда
L= 5,57 10 10 м kgm 2/s
И= -22,12 10 6 м J
Познавайки енергията и ъгловия момент, се определя уравнението на пътя, стойността на параметъра д и ексцентричност ε
ε= 0,372
д= 7,77 · 10 6 m
С тези данни, пускането r= 6,37 · 10 6 m в уравнението на траекторията получаваме ъгъла θ= 0,934 рад.
Ъгловото разстояние между точката на удара и позицията на стрелба е
α= π-0,934 = 2,20 рад
Наречен диапазон при дължина на дъгата с обиколка на Земята, която съответства на това ъглово разстояние, s = R a= 14,03 · 10 6 m