Приложения на експоненциални и логарови функции; tmics

цели

След приключване на този урок трябва да можете да:

• Моделирайте ситуации, които могат да бъдат представени чрез експоненциални или логаритмични функции.
• Прилагайте модели за решаване на проблеми.

Ситуационно моделиране

В урока по Въведение в експоненциални функции се научихме да получаваме формулата на експоненциални функции според ситуациите. Сега, след като знаем как да получим формулите, ще ги използваме за решаване на реални житейски проблеми.

Популация от птици, първоначално има 50 индивида и се утроява на всеки 2 години.

1. Каква е формулата на функцията, която представя растежа на популацията на птиците?
2. Колко птици има след 4 години?
3. След колко време популацията на птиците ще бъде 1000 индивида?

Каква е формулата на функцията, която представя растежа на популацията на птиците?

Ако x представлява броя на изминалите години, въз основа на наученото в урока Въведение в експоненциални функции, знаем, че формулата за популацията е:

Колко птици има след 4 години?

Използвайки формулата за x = 4, популацията ще бъде:

f 4 = 50 × 3 4 2 = 50 × 3 2 = 450

След 4 години ще има 450 птици.

След колко време популацията на птиците ще бъде 1000 индивида?

Искаме да намерим стойността на x, за която f (x) = 1000:

fx = 50 × 3 x 2 1000 = 50 × 3 x 2 20 = 3 x 2 ln (20) = ln (3 x 2) ln (20) = x 2 ln (3) 2 ln (20) ln (3) = хх = 5.4

Популацията на птиците ще бъде 1000 индивида след 5,4 години.

50 милиграма от определено лекарство се дава на пациент. Броят на милиграмите, останали в кръвния поток на пациента, намалява с една трета на всеки 5 часа.

1. Каква е формулата на функцията, която представлява количеството на лекарството, останало в кръвния поток на пациента ?
2. Колко милиграма от лекарството са останали в кръвта на пациента след 3 часа?
3. След колко време само 1 милиграм от лекарството ще остане в кръвта на пациента?

Каква е формулата на функцията, която представлява количеството на лекарството, останало в кръвния поток на пациента ?

Ако x представлява броя на изминалите часове, формулата за количеството лекарство в кръвния поток на пациента е:

f x = 50 × 1 3 x 5

Колко милиграма от лекарството са останали в кръвта на пациента след 3 часа?

Използвайки формулата за x = 3:

f 3 = 50 × 1 3 3 5 = 50 × 1 3 0,6 ≈ 25,86

След 3 часа в кръвта на пациента остават приблизително 25,86 милиграма от лекарството.

След колко време само 1 милиграм от лекарството ще остане в кръвта на пациента?

Искаме да намерим стойността на x, за която f (x) = 1:

fx = 50 × 1 3 x 5 1 = 50 × 1 3 x 5 1 50 = 1 3 x 5 ln 1 50 = ln 1 3 x 5 ln (1 50) = x 5 ln (1 3) 5 ln (1 50 ) ln (1 3) = xx ≈ 17,8

След приблизително 17,8 часа в кръвта на пациента ще остане само 1 милиграм от лекарството.

Намиране на функцията от дадени стойности

В научно изследване популацията от мухи нараства експоненциално. Ако след 2 дни има 100 мухи и след 4 дни има 300 мухи.

1. Каква е формулата на функцията, която представя растежа на популацията от мухи?
2. Колко мухи има след 5 дни?
3. След колко време популацията на мухите ще бъде 1000 индивида?

---