Напредък в изследването на хилядолетието и научните новини на Навие-Стокс
Двама математици показват, че при определени условия уравненията на Навие-Стокс дават резултати, които нямат смисъл.
Уравненията на Навие-Стокс са едновременно изключително практични, с безкрайни реални приложения, както и произходът на един от най-трудните и известни чисто математически задачи на все още неизвестно решение [NASA, фрагмент].
Уравненията на Навие-Стокс улавят с няколко кратки термина една от най-повсеместните характеристики на физическия свят: потока на течностите. Уравненията, датиращи от 1820-те години, се използват днес за моделиране на всичко - от океанските течения до турбуленцията вследствие на самолет или потока на кръв в сърцето.
Физиците смятат, че това са уравнения с бомбоустойчива надеждност. Математиците, от друга страна, ги гледат с подозрение. За математиците не означава много, че изглежда работят. Те искат доказателство за неговата непогрешимост, че без значение каква течност е, независимо колко далеч в бъдещето се предвижда нейният поток, математиката на уравненията все пак ще работи. Тази гаранция им се изплъзва. Първият (или първият екип), който покаже, че уравненията на Навие-Стокс винаги работят, или да даде пример, че не го прави, ще спечели наградата от милион долара, която Институтът по математика на Клей предлага на тези, които го правят, като например един от така наречените проблеми от седем хилядолетия.
Математиците са създали много начини да се опитат да разрешат проблема. Нова работа, публикувана онлайн през септември 2017 г., повдига сериозни въпроси за това дали основен сред тези подходи, който е следван с течение на времето, ще успее. Докладът на Тристан Бакмастър и Влад Викол от Принстънския университет е първият резултат, който установява, че при определени предположения уравненията на Навие-Стокс предоставят несъответстващи описания на физическия свят.
Ето как могат да бъдат сложните нестабилности при еволюцията на две течности, които се движат една до друга с различна скорост. Математиците искат да знаят дали уравненията на Навие-Стокс винаги предлагат еволюция и само една от първоначално състояние [Mark Stock].
„Получаваме представа за проблемите, присъщи на тези уравнения и защо е много възможно те да бъдат преосмислени“, казва Buckmaster.
Работата на Buckmaster и Vicol показва, че когато е разрешено плътно проследяване на решенията на уравненията на Навие-Стокс (по-скоро като скица, отколкото снимка), уравненията започват да дават резултати, които нямат смисъл: те казват, че същото течността, започвайки от едни и същи начални условия, може да завърши в две (или повече) много различни състояния. Може да тече по един или друг начин съвсем различно. Ако е така, уравненията няма да отразяват надеждно физическия свят, за който са проектирани.
Уравнения, които експлодират
За да видим как уравненията могат да се провалят, нека първо си представим потока на океанско течение. В тях може да има множество пресичащи се токове, като някои части се движат в една посока с една скорост, а други се движат в други посоки с други скорости. Тези пресичащи се токове си взаимодействат във непрекъснато развиваща се взаимна игра на триене и налягане на водата, която определя начина на протичане на потока.
Математиците моделират тази взаимна игра с карта, която ни казва посоката и големината на тока при всяка позиция на течността. Тази карта, която се нарича векторно поле, е моментна снимка на вътрешната динамика на флуида. Уравненията на Навие-Стокс правят тази снимка и я обръщат напред във времето, така че ни казват как ще изглежда това векторно поле във всеки следващ момент.
Уравненията работят. Те описват флуидните потоци толкова надеждно, колкото Нютон прогнозира бъдещите позиции на планетите; физиците ги използват нон-стоп и от време на време се съгласяват с експерименталните резултати. Математиците обаче искат повече от анекдотично потвърждение: те искат доказателство, че уравненията са неприкосновени, че няма значение от кое векторно поле започвате и че няма значение колко далеч в бъдещето ще започнете. уравненията винаги ще ни дадат уникално векторно поле.
Това е предмет на съответния проблем на хилядолетието: той пита дали уравненията на Навие-Стокс имат решения (където решенията са по същество векторни полета) за всички изходни точки и всички моменти от времето. Тези разтвори трябва да осигуряват точната посока и величина на тока във всяка точка на флуида. Решенията, които предоставят информация с такава безкрайно голяма резолюция, се наричат „гладка“ или „гладка“. С плавно решение, всяка точка в полето има асоцииран вектор, който ни позволява да пътуваме „плавно“ през полето, без никога да се забиваме в точка, която няма вектор, точка, в която не знаем къде да отидем следващия.