Числово решение на уравненията на движението
Небесна динамика
Дейности
| На тази страница изучаваме движението на тяло с маса м когато се изстрелва от точка по оста X на разстояние r1 на фиксирания център на силите, с нарастващи скорости v1 перпендикулярна на радиусния вектор. |
Законите на Кеплер описват движението на планетите около Слънцето, без да се изследват причините, които произвеждат такова движение.
1.-Планетите описват елиптични орбити със Слънцето в един от фокусите му.
2. -Векторното положение на която и да е планета по отношение на Слънцето, обхваща равни области на елипсата за равни времена.
3.-Квадратите на периодите на революция са пропорционални на кубовете на полуосите на елипсата.
Законите на Нютон не само обясняват законите на Кеплер, но и предсказват други траектории за небесните тела: притчи и хиперболи. По принцип тяло под действието на гравитационната сила на привличане ще опише равнинна траектория, която е конична.
Както бе споменато, централните и консервативни свойства на силата на привличане между небесно тяло и Слънцето определят система от две диференциални уравнения от първи ред, които когато се изразяват в полярни координати, водят до уравнението на траекторията, конична.
Интерактивната програма протича по друг начин, тя изчислява компонентите на ускорението по оста X и по оста Y, пораждайки система от две диференциални уравнения от втори ред, които се решават чрез цифрови процедури.
Числово решение на уравненията на движението
Да предположим, че частица маса м (планета) е привлечена от масивно тяло от маса М (Слънцето) Ще приемем, че влиянието на частицата върху тялото е незначително, като остава в покой в началото.
Частицата е подложена на привлекателна сила F чиято посока е радиална и сочи към центъра на Слънцето. Модулът на силата е даден от закона за всеобщата гравитация
Компонентите на силата са
Прилагайки втория закон на Нютон и изразявайки ускорението като второ производно на позицията, имаме система от две диференциални уравнения от втори ред.
Като се имат предвид началните условия (позиция и начална скорост), системата от две диференциални уравнения може да бъде решена чрез прилагане на числовата процедура на Рунге-Кута.
Везни
Преди да решите системата от диференциални уравнения чрез числови процедури, е удобно да ги подготвите така, че компютърът да не обработва прекалено големи или малки числа.
Установяваме система от единици, в която географската дължина се измерва в астрономически единици, средното разстояние между Слънцето и Земята. L= една AU = 1,496 · 10 11 m и времето в годишни единици, = една година = 365,26 дни = 3,156 10 7 s.
В новата система от единици x = Lx ’, t = P · t ’, се записва първото диференциално уравнение
Какво L е полу-голямата ос на земната орбита около Слънцето, е периодът или времето, необходимо за извършване на пълна революция, и М е масата на Слънцето. По третия закон на Кеплер, терминът
Връщайки се към нотацията х и Y. за позиция и т за време в новата единична система. Написана е системата от диференциални уравнения
Принцип на запазване на енергията
Общата енергия на частицата е константа на движение. Енергията на масовата частица м в началния миг т= 0 е
Кога E0 Както виждаме R съответства на параметъра д, намеса в уравнението на елипсата в полярни координати.