Балон, издигащ се в банкомата; сфера

Материалът, направен от каучук, не работи съгласно закона на Хук. На тази страница изучаваме поведението на балон, напомпан с газ He.

Разглеждаме случая с балон, който се запълва с хелий газ на морското равнище и се освобождава. Ще проучим движението на възнесението на земното кълбо.

Това е пример, който интегрира динамиката на частиците, флуидите и термодинамиката

Натиск вътре в балон

Когато недеформиран балон с радиус r0 се надуе до радиус r> r0, повърхността на балона придобива еластична енергия поради деформацията. Изразът на еластичната енергия, когато балонът е в среда при температура Т е

U = 4 π r 0 2 k R T (2 r 2 r 0 2 + r 0 4 r 4 - 3)

където k е константа в единици mol/m 2, R = 8.3143 J/(K mol) е газовата константа .

Работата, необходима за увеличаване на радиуса на балона от ra r + dr под действието на разлика в налягането ΔP между вътрешната Pint и външната Pext, е продукт на разликата в налягането ΔP и увеличаването на обема d V = d (4 3 π r 3) = 4 π r 2 д-р

Тази работа се инвестира в увеличаване на еластичната енергия на повърхността на балона.

d W = (d U dr) dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr 4 π r 2 Δ P dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr Δ P = 4 k RT r 0 (r 0 r - r 0 7 r 7) P int ⁡ - P ext = 4 k RT r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = rr 0

Фигурата показва графиката на функцията

f (λ) = (1 λ - 1 λ 7)

Разликата в налягането нараства бързо с коефициента λ = r/r0, достига максимум и след това намалява като 1/λ за големи стойности на λ.

Получаваме крайността на функцията, като производната на функцията f (λ) е равна на нула

- 1 λ 2 + 7 1 λ 8 = 0 λ 6 = 7 λ = 1.383

Надуване на балона

Първоначално балонът е в среда при атмосферно налягане Pext = P0 и при температура T0, той съдържа n0 мола хелиев газ и радиусът му е r0. Налягането на газа вътре в балона е P0. Уравнението на идеалния газ е

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0

Свързваме балона с газова бутилка, която го снабдява с Δn бенки. Броят на моловете газ в балона е n = n0 + Δn. Налягането в сферичния балон с радиус r е P.

От уравнението на идеалния газ, което имаме

P 4 3 π r 3 = n R T 0 = n n 0 P 0 4 3 π r 0 3 P λ 3 = P 0 n n 0

Тъй като разликата в налягането между вътрешната и външната част на балона е

P - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7)

Комбинирайки тези две уравнения, изчисляваме радиуса λ = r/r0 на балона

n n 0 1 λ 3 - 1 = 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)

реалният корен на полинома

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

След като λ е изчислена, по някаква числена процедура, разликата в налягането между вътрешната и външната страна на балона е

Δ P = P 0 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)

Пример.

Атмосферно налягане, P0 = 101300 Pa
Температура на околната среда, T0 = 30º = 303 K
Начален радиус на балона r0 = 42 cm
Зададена е стойността на константата k = 0,46235

Брой начални мола газ

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0 n 0 = 12.5

Всеки път, когато инжекционната помпа се включи, съдържащият се в балона газ се увеличава с 5 мола.

За да изчислите новия радиус на земното кълбо, трябва да решите уравнението

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = 12,5 + i · 5 12,5 b = 16 π · 0,4623 · 0,42 2 3 · 12,5 = 0,10931 i = 1,2,3. Δ P = 101300 · 0,10931 (1 λ - 1 λ 7) = 11073,1 (1 λ - 1 λ 7) Pa

по някаква числена процедура и след това ще изчислим разликата в налягането ΔP между вътрешната и външната страна на балона.

Получаваме налягането в cm вода, умножавайки h по две, както виждаме в симулацията по-долу

Дейности

Бутонът е озаглавен Ново

Бутонът е озаглавен Започва

5 мола газ се инжектират в балона

Интерактивната програма изчислява радиуса r на балона в cm и разликата в налягането ΔP между вътрешната и външната страна на балона в Pa. Манометърът измерва разликата в налягането в cm вода. Например, разликата в налягането от 4473,3 Pa е еквивалентна на

Δ P ρ g = 4473,3 1000 9,8 = 0,4564 m = 2 22,8 cm

Бутонът е озаглавен Започва и балонът се надува с още 5 мола газ и така нататък.

Балон, който се издига

Сферичният балон е изпълнен с n мола газ хелий на морското равнище, където налягането е P0, а температурата е T0. Ако Pint е налягането в балона

P int ⁡ 4 3 π r 3 = n R T 0

Разликата в налягането между вътрешната и външната страна на балона е

P int ⁡ - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = r r 0

Радиусът на земното кълбо на морското равнище е коренът на уравнението

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

Изменение на налягането с височина в линейна атмосфера

Ще приемем, че температурата T намалява линейно с височината и.

T = T 0 (1 - y y 0)

Изменението на налягането с височината се извежда от основното уравнение на статиката на флуида

до уравнението на идеалния газ

P V = m M A R T P = ρ M A R T

където MA = 0,0289 kg/mol е молекулната маса на въздуха.

d P = - PMA gy 0 RT 0 1 y 0 - ydy ∫ P 0 P d PP = - MA gy 0 RT 0 ∫ 0 y 1 и 0 - ydy ln ⁡ PP 0 = η (ln ⁡ (y 0 - y) - ln ⁡ y 0) η = MA gy 0 RT 0 P = P 0 (1 - yy 0) η