Парадоксът в Санкт Петербург е решението
Преди няколко дни представихме една малка загадка, известна като Санкт Петербургския парадокс. Става въпрос за a игри чиято очаквана стойност е безкрайна и следователно справедливата цена за игра също трябва да бъде безкрайна, въпреки факта, че това противоречи на интуицията и здравия разум. Къде е недостатъкът или уловът? както вече казахме в оригиналната публикация, математическият резултат е напълно правилен. Обаче нещо ни убягва.
В коментарите са внесени много интересни идеи и гледни точки. Според мен от всички тях най-интересното отражение е на тези, които смятат, че „реалната“ очаквана стойност на играта е намалена, защото броят пъти, в които можем да играем, не може да бъде безкраен, тя е физически ограничена. Но дори и така, очакваната стойност на играта все още е твърде голяма, за да бъде справедливата цена разумна (например, ако имахме таван от хиляда завъртания, очакваната стойност щеше да бъде 500 евро, но вероятността да надхвърлим пет или шест лица подред все още са също толкова отдалечени).
Решението на енигмата идва през 1738 г. именно от ръката на Даниел Бернули, племенник на Николас Бернули (който предложи парадокса), въпреки че Габриел крамер Вече очаквах резултата преди години. Ключът е в следата, която вече дадохме в оригиналния подход: стойност на парите Не е същото за математиците, както за обикновените смъртни.
Всъщност в своята „Нова теория за измерването на късмета“ Даниел Бернули заявява следното:
The полезна функция (u (x)) е трикът, който икономистите използват, за да могат математически да представят предпочитанията на икономическите агенти, а в случая на рационалния човек, въпреки че винаги се увеличава, той нараства в вдлъбнат (тоест расте все по-бавно). Здравият разум поддържа тази интуиция. „Реалната“ стойност от 100 евро за някой, който има нула, е огромна (тъй като става въпрос за оцеляване), но за някой, който вече има милион евро, е нищожна. С други думи, пределната полезност парите намаляват.
Следователно не трябва да измерваме очакваната стойност на играта, а очакваната полезност (която ще наречем U). Преглеждайки формулите от другата публикация, бързо ще разберем, че споменатата полезност е U = (1/4) u (2) + (1/8) u (4) + (1/16) u (8) +. = Σ [u (2 n)/2 n + 1], където u (x) представлява полезността за получаване на x евро.